［Ｐ２］

§２．原子核の性質

　原子核の大きさは およそ 10⁻¹² cm（原子の大きさの 1／10⁴　程度），

　密度はおよそ 10¹⁴ g・cm⁻³ （比重 10¹⁴） という高密度である。

大きさと形状 　；

　多くの核は、ほぼ球形とみなせる。核の半径 Ｒ は近似的に次式で与えられる。

　　　　Ｒ ＝ ｒＡ^1／３　　（ただし　ｒ ＝ 1.3×10⁻¹³cm ）

　ただし　Ａ は核の質量数である。

（注） この近似式は軽い核については成り立たない。

［例題］ パラジウム核 ₄₆¹⁰⁶Ｐd の半径は幾 cm か。

（解）　　Ｒ ＝ ｒＡ^1／３　より　Ｒ ＝ 1.3×10⁻¹³×（106）^1／3 　cm

　　　　　　　　　　　　　　　　≒　6.2×10⁻¹³ 　cm

核の結合エネルギー binding energy　；

　原子核 _Z^AＸ を Ｚ 個の陽子と Ｎ 個の中性子に完全に分解するのに要する仕事は、

　核が構成されるときに放出されるエネルギーに等しい。核を作るとき放出される

　エネルギーを核の結合エネルギー という。これが正で大きい程、核は安定である。

質量欠損 mass defect 　；

　一般に核 _Z^AＸ の質量 ｍ_Ｘ は、これを構成する Ｚ 個の陽子（質量ｍ_ｐ）と

　Ｎ 個の中性子（質量ｍ_ｎ）の質量の総和 　Ｚｍ_ｐ＋Ｎｍ_ｎ 　よりは小さく、

　その質量差のことを質量欠損 △ｍ といい、次式によって与えられる。

　　　　　△ｍ ＝　Ｚｍ_ｐ＋Ｎｍ_ｎ−ｍ_Ｘ

［例題］ 炭素核 ₆¹²Ｃ の質量を 19.92636×10⁻²⁴ g とするとき、

　　　　 この核の質量欠損は陽子質量の幾 ％ に相当するか。

　　　　 ただし 陽子，中性子の質量をそれぞれ 1.67262×10⁻²⁴ g ，

　　　　 1.67493×10⁻²⁴ g とする。

（解）　　△ｍ ＝　Ｚｍ_ｐ＋Ｎｍ_ｎ−ｍ_Ｘ　　　　　　　　　　　　

　　　　　＝　6×1.67262×10⁻²⁴g＋6×1.67493×10⁻²⁴g−19.92636×10⁻²⁴g

　　　　　＝　0.1589×10⁻²⁴g

　　　よって　［ 0.1589×10⁻²⁴ g ／（1.67262×10⁻²⁴g）］×100 ＝　9.5 ％

結合エネルギーと質量欠損の関係　；

　核の結合エネルギー Ｂ と質量欠損 △ｍ の 間には次の関係がある。

　　　Ｂ ＝ ｃ² △ｍ ＝ ｃ²（Ｚｍ_ｐ＋Ｎｍ_ｎ−ｍ_Ｘ ）

　ただし ｃ は真空中の光速度であって、およそ 3.0×10^８ m・s⁻¹ である。

（注）相対性理論によると、質量 ｍ の物体が速度 ｖ で運動しているとき、

　　　 この物体のエネルギー Ｅ は　

　　　　 Ｅ ＝ ｍｃ² ［1−（ｖ／ｃ) ² ] ^−1／2 　

　　　 で与えられる。

　　　 この式より物体が静止（ｖ＝0）しているときのエネルギー Ｅ₀ は

　　　　Ｅ₀ ＝ ｍｃ²　

　　　 となり、質量とエネルギーの等価性が示される。この Ｅ₀ を静止エネルギー

　　　 という。

　　　 したがって物体のもつ運動エネルギーＫは　

　　　　Ｋ＝ Ｅ−Ｅ₀

　　　　　＝ ｍｃ²［1−（ｖ／ｃ）² ] ^−1／2 −ｍｃ²　

　　　 となる。　

（注） エネルギーの SI 単位 J（ジュール）＝ kg・m²・s⁻²

エネルギーの単位 eV　；

　エネルギー 1eV（エレクトロンボルト）は、電子が 1V（ボルト）の電圧で加速

　されたときに得るエネルギーである。

（注） エネルギーの単位 eV と J（ジュール）の関係

　　　電子の電気量の絶対値の大きさは およそ 1.6×10⁻¹⁹ C（クーロン）であるから、

　　（電子の得るエネルギー） ＝ （電荷）×（電圧） より

　　　　　1eV ≒ 1.6×10⁻¹⁹ J （ジュール）

　　　となる。

（注） 10³ eV ＝ 1 keV

　　　 10⁶ eV ＝ 10³ keV ＝ 1 MeV

　　 　10⁹ eV ＝ 10³ MeV＝ 1 GeV　

　　 　（ k： キロ， M： メガ， G： ギガ ）

（注） 原子核や素粒子の分野では、質量の大きさを表わすとき、eV，MeV，GeV などの

　　　 エネルギーの単位を用いることが多い。　

［例題］ 質量　0.05 mg をエネルギーの単位 GeV で表わせ。

　　　　 ただし 真空中の光速度 3.0×10⁸ m・s⁻¹，電子の電気量の絶対値を

　　　　 1.6×10⁻¹⁹ C とする。

（解）　　Ｅ ＝ ｍｃ²

＝　0.05×10 ⁻⁶ kg ×（3.0×10⁸ m・s⁻¹ ) ²

　　　　　　＝　0.45×10⁹ kg・m²・s⁻²

　　　　　　＝　0.45×10⁹ J

　　　　1 eV ＝ 1.6×10⁻¹⁹ J　より　

　　　　　J ＝ 1／(1.6×10⁻¹⁹ ） eV　であるから

　　　　Ｅ ＝　0.45×10⁹×1／(1.6×10⁻¹⁹ ) eV

　　　　　＝　0.28×10²⁸ eV

　　　　　＝　0.28×10²⁸×10⁻⁹ GeV

　　　　　＝　2.8×10¹⁸ GeV

［例題］ 静止していた電子を電圧 20 kV でもって加速したとき、この電子の得る

　　　　 速度を求めよ。ただし電子の静止質量を 0.51 MeV とし、真空中の

　　　　 光速度を 3.0×10⁸ m・s⁻¹ とする。

（解）　　Ｋ ＝ Ｅ−Ｅ₀

　　　　　　＝ Ｅ₀［1−（ｖ／ｃ）² ] ^−1／2 − Ｅ₀　　より

　20×10³ eV ＝ 0.51×10⁶ eV ×［1−（ｖ／3.0×10⁸ ｍ・s⁻¹ ) ² ] ^−1／2 − 0.51×10⁶ eV

　　　　よって　ｖ ＝　8.16×10⁷ m・s⁻¹

［例題］ 酸素原子核 ₈¹⁶Ｏ の質量を 26.56005×10⁻²⁷ kg とするとき、

　　　　 この核の結合エネルギーは幾 MeV か。ただし 陽子，中性子の質量を

　　　　 それぞれ 1.67262×10⁻²⁷ kg，1.67493×10⁻²⁷ kg とする。

　　　　 また 真空中の光速度を 3.0×10⁸ m・s⁻¹ とし、eV ＝1.6×10⁻¹⁹J とする。

（解）　　Ｂ ＝ （Ｚｍ_ｐ＋Ｎｍ_ｎ−ｍ_Ｘ）ｃ²　より

　　　　Ｂ ＝ （8×1.67262×10⁻²⁷ kg＋8×1.67493×10⁻²⁷ kg−26.56005×10⁻²⁷ kg ）

　　　　　　　×(3.0×10⁸ m・s⁻¹ ) ²

　　　　　＝ 1.98315×10⁻¹¹ kg・m²・s⁻²

　　　　　＝ 1.98315×10⁻¹¹ Ｊ

　　　　　＝ 1.98315×10⁻¹¹／(1.6×10⁻¹⁹ ） eV

　　　　　＝ 1.24×10⁸ eV

　　　　　＝ 1.24×10⁸×10⁻⁶ MeV

　　　　　＝ 124 MeV

核の結合の強さ　；

　 核子１個あたりの結合エネルギー　ｂ＝Ｂ／Ａ　は、その核の結合の強さ

　すなわち核の安定度を示す尺度である。軽い核（質量数Ａ＜20）のとき

　ｂ は約 3〜8 MeV であり、Ａ が 4 の倍数であると特に大きくなる。

　これは₂⁴Ｈ核（α粒子）が特に大きな結合エネルギーを持って安定であるから、

　軽い核内においては２個の陽子と２個の中性子がα粒子的な集団を作り易いこと

　を意味する。質量数 20≦Ａ≦190 の核では、ｂ は およそ 8 MeV の値を

　持つが、Ａ＞190 のような重い核の ｂ は 7 MeV 程度に減少する。

　したがってＡが中程度の値のとき ｂ が最も大きくなり、核は安定となる。

安定核の分布　；　

　天然に存在する 287 種類の安定核を、陽子数 Ｚ や中性子数 Ｎ が偶数か奇数か

　に応じて分類したとき、核の存在数は Ｚ，Ｎ とも偶数の場合が最も多く Ｚ，Ｎ が

　ともに奇数の場合が最も少ない。このことは陽子数と中性子数がともに偶数のとき、

　核は最も安定であることを示す。

中性子過剰　；

　軽い安定核では陽子数 Ｚ と中性子数 Ｎ は ほぼ等しいが、重い核になるにつれて、

　中性子数 Ｎ が陽子数 Ｚ より大きくなる。

　これを中性子過剰neutron excessといい、過剰中性子数　Ｄ＝Ｎ−Ｚ　に対し

　次の経験式が成り立つ。

　　　　　　Ｄ ＝ Ｎ−Ｚ ≒ 0.006 Ａ^5／3

（注） 重い核では中性子過剰のとき核が安定である理由；

　　　 正電気を持つ陽子間には静電気による反発力が作用するために陽子数Ｚが

　　　 大きいと核力による結合が弱められて核が不安定となる。ところが電気を

　　　 もたない中性子が多いと核力の寄与が強くなるので、重い核では中性子過剰

　　　 のとき核は安定となる。

［例題］ 質量数 195 の白金の核について、過剰中性子数を求めよ。

（解）　　Ｄ ＝ Ｎ−Ｚ ≒ 0.006Ａ^5／3 　より　

　　　　　Ｄ ＝ 0.006×（195）^5／3≒　39

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