力のつりあい

2003年度版参考資料（by 松原）

　力のつりあい

【項目】

◆力のモーメント　
　ねじをしめるとき、長いペンチを使うと楽に回すことができる。このようにものを回転させるには力だけでなく、回転軸の長さも影響する。そこで回転させる作用の大きさを表す量として、力のモーメントM（あるいはトルクともいう）をつぎのように定める。

　　M=aF

ここでaは回転軸から力の作用点までの距離で、腕の長さともよぶ。またFは力の大きさである。

力が腕に対して垂直でないときは、回転に寄与するのは垂直成分だけなので、腕と力の方向をなす角をθとすると、力のモーメントは

　　　M=aFsinθ

と表される。

力のモーメントの単位はN((I%mとなる。これは仕事の場合と同じであるが、仕事と違ってJは使わない。

【例題5-1】
つぎの各場合について、O点のまわりの力のモーメントを求めよ。

　解答

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<◆重心
　軽い棒におもりを２つつけたものを持ち上げる場合、適当な位置をつかむとどちらにも傾かない。つまりこの点のまわりの重力のモーメントはゼロとなる。このように重力のモーメントが０になる点を重心という。物体のつりあいを考えるときは、重力はすべて重心にかかっているとしてよい。

○重心の求め方
・計算による方法
　重さm₁のおもりが位置x₁に、重さm₂のおもりが位置x₂にあるとき重心Gの位置x_Gを求めよう。重心Gのまわりの力のモーメントはゼロだから、左回りと右回りのモーメントの大きさは等しい。つまり、

　　(x_G-x₁)m₁g=(x₂-x_G)m₂g

となるので、これからx_Gは、

　　

と求められる。

　　
同様にして鉛直な平面内におもりが分布しているときの重心も求められる。おもりの質量をm₁、m₂、m₃・・・、座標を（x₁, y₁）、（x₂, y₂）、（x₃, y₃）・・・とすると、重心の座標（x_G, y_G）は、

　　

となる。

・ズラシ法
　バットのように棒状のものの重心を求めるには、横倒しにして両端を下から指で支え、この指をゆっくりと近づけると良い。このとき指に加わる重力が小さい方が摩擦力も小さくなる。つまり重心から遠い方の指がすべるので、指が合わさったところが重心の位置になる。

・ぶら下げ法
　物体を自由に回転できるようにしてぶら下げた場合、重心はその支点の真下にくる。したがって板状のものを支点の場所を変えてぶら下げれば、支点を通る鉛直線の交点が重心になることが分かる。

　

　

【例題5-2】
つぎの場合について重心の位置を求めよ。

(1) 長さ1.2 mの軽い棒の一端Aに2.0 kg、他端Bに4.0 kgのおもりをつけた。

(2) 長さ1.2 m、質量1.0kgの一様な棒の一端Aに2.0 kg、他端Bに4.0 kgのおもりをつけた。

　

解答

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◆つりあいの条件
　物体が静止しているための条件はどのようなものだろうか。静止しているということは、移動せず、また回転していない状態である。したがってその物体に加わっている力の合力Fがゼロになるばかりでなく、力のモーメントの和Mもゼロになっていなければならない。式で書くと、
　　F_x=F_1x+F_2x+F_3x((I%%%=0
　　F_y=F_1y+F_2y+F_3y((I%%%=0
　　M=a₁F₁cosθ₁+a₂F₂cosθ₂+a₃F₃cosθ₃+((I%%%=0

となる。

　

【例題5-3】
60Nの重さのおもりを持って前腕を水平に保つとき，上腕二頭筋が前腕におよぼす筋力Ｆと，肘関節において上腕骨が尺骨におよぼす肘関節抗力Ｒを求めよ。ただし前腕の長さは35cmで，上腕二頭筋は関節から5.0cmの位置につながっている。また，Ｆは垂直に働いているとし，前腕の重さは無視してよい。

　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　

解答

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◆まとめ
○力のモーメント
　　M=aFsinθ

○重心
　　

○つりあいの条件
　　力の和＝０　かつ　力のモーメントの和＝０
　　

　

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