力積と運動量

2003年度版参考資料（by 松原）

　力積と運動量

【項目】

◆力積と運動量
◆運動量の保存
◆角運動量

◆力積と運動量　

○運動量
　速度が大きい方が運動の勢いも当然大きいが、同じ速度でも質量の大きい物体の方が勢いは大きい。そこで質量mと速度vの積を運動の勢いを表す量とし、運動量と名づける。質量をm、速度をvとすると、運動量pは、

　　　p=mv

と表される。

○力積と運動量
　質量mの物体に力FをΔtの時間加えると、この物体の運動量はどのように変化するだろうか。運動方程式より加速度aは

で与えられるので、最初の速度をv₁とすると、力を加えた後の速度v₂は、

となる。この両辺にmをかけて整理すると

が得られる。ここで左辺のように力と時間の積（より一般的には力を時間で積分したもの）を力積とよぶ。つまり運動量の変化は力積に等しい。

★お薦め参考資料（大学図書館にあります）
ビデオ「運動量の保存」-メカニカル・ユニバース 6-　（17分）
　　保存書庫にありますので、カウンターで申し込んでください。図書館で見られます。

【例題3-1】

　0.20 kgの金槌を10 m/sの速さでふり下ろして釘を打った。衝突時間が1.0 msだったとすると、このとき加わる力の平均の大きさはいくらか。ただし衝突後に金槌は静止するものとする。

◆運動量の保存

　物体が引き合ったり、あるいは反発したりしたときの運動量の変化がどうなるかみてみよう。２つの物体をA,Bとし、AがBに及ぼす力をF_AB、BがAに及ぼす力をF_BA、力を及ぼす時間をΔtすると、それぞれの運動量変化は、

　　　F_BA･Δt=m_Av_A2-m_Av_A1　・・・・(3.1)

　　　F_AB･Δt=m_Bv_B2-m_Bv_B1　・・・・(3.2)

となる。ここで、m_A、m_Bはそれぞれの質量、v_A1、v_B1は力を及ぼし合う前の速度、v_A2、v_B2は力を及ぼし合った後の速度を表す。作用・反作用の法則から、

　　　F_BA= -F_AB

となるので、(3.1)式と(3.2)式を足すと、

　　　m_Av_A1+m_Bv_B1=m_Av_A2+m_Bv_B2

が得られる。つまり力を及ぼし合っても、運動量の和は変化しない。これを運動量保存の法則という。

【例題3-2】

静止している質量100 kgのボートに質量60 kgの人が4.8 m/sの速度で飛び乗った。ボートはどのくらいの速さで動き出すか。

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◆角運動量
　コマやタイヤなどの回転しているときの勢いは、もちろん質量mや速度vも関係するが、回転の半径rも影響する。そこで回転の勢いを表す量として
　　L=mvr
を考え、これを角運動量とよぶ。つまり角運動量は質量、速度、半径のそれぞれに比例する。

角運動量は回転方向に力が働かないかぎり変化しない。すなわち、質量、速度、半径がそれぞれm₁、v₁、r₁からm₂、v₂、r₂になったとすると、

　　m₁v₁r₁=m₂v₂r₂

となる。例えば、アイススケートでスピンしているとき、腕を広げた状態から縮めると回転が速くなるのは角運動量が保存するためである。

★お薦め参考資料（大学図書館にあります）
ビデオ「角運動量」-メカニカル・ユニバース 7-　（12分）
　　保存書庫にありますので、カウンターで申し込んでください。図書館で見られます。

【例題3-3】

糸の端に質量50 gのおもりをつけ、他端をなめらかで水平な板にあけた穴に通し、この板上のおもりを速度0.23 m/s、半径1.5 mで回転させた。糸を引いて半径0.50 mとすると、おもりの速度はいくらになるか。　

◆まとめ

○力積と運動量
　　FΔt=mv₂-mv₁

○運動量の保存
　　mv₁+mv₂=mv₁'+mv₂'

○角運動量の保存
　　mvr=mv' r'