力学2

2003年度版参考資料（by 松原）

　運動の３法則

【項目】

◆慣性の法則　

　ニュートン（I. Newton）は物体の運動に関して３つの基本的な法則を見つけた。これを「ニュートンの運動の３法則」という。このうち第１法則はつぎのようなものである。

　　力を受けない物体は静止または等速直線運動を続ける。

これは「慣性の法則」ともよばれる。またこのような物体の性質を「慣性」という。
　物体が静止しているとき力が働かなければ、そのまま静止することは当然と思われる。しかし日常の経験では、運動している物体は力を加えなければそのうち止まってしまう。例えば自転車をこぐのを止めるとしばらくは走り続けるが、やがて止まってしまう。これは実は摩擦力という力が働いているためである。摩擦を小さくすれば小さくするほど長く動き続ける。もし摩擦がなければ、いつまでも動き続けるのである。
　ところで、一定の速度で走っている電車に乗っている人は、網棚の荷物には力が働かないので静止し続けていると思っている。しかし地上にいる人から見れば、この荷物は一定の速度で動き続けているのである。さらに地上で静止している物体も、地球は自転や公転をしているので、太陽から見れば運動していることになる。このように静止しているか運動しているかは見る立場によって異なってくるのである。

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ビデオ「慣性」-メカニカル・ユニバース 10-　（22分）
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【例題2-1】

糸でつるしたおもりを下から糸で引くと、どこが切れるだろうか。ただし上と下の糸は同じものとする。

解答

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◆運動方程式
　物体に力が加わると速度が変化する。すなわち加速度が生じる。このとき力が大きいほど加速度も大きく、物体の質量が大きいほど加速度は小さくなる。質量をm、加速度をaとすると、力の大きさはFは、

　　F=ma　　　（2.1）

と表される。これが運動の第２法則で、運動方程式ともよばれる。力の単位はＮ（ニュートン）である。

○重力
　摩擦等が無視できれば、地上ではすべての物体は重力加速度とよばれる一定の加速度で落下する。すなわち物体には質量とこの加速度の積の力、すなわち重力が働いていることになる。地球上での重力加速度の大きさはおよそ9.8m/s²の大きさなので、0.1 kgの物体にかかる重力は約１Nということになる。
　重力加速度の大きさは地球上でも場所によって多少異なる。また例えば月面では地上の約1/6である。質量は物質固有の値であるので変化しないが、重力加速度が異なればそれにともなって重力は変化する。

【例題2-2】

最初静止していた質量1.2ｔ（=1200kg）の自動車を一定の加速度で走らせたところ、8.0秒後に時速100kmになった。このとき加わった力はいくらか。

解答

○等速円運動と向心力
　運動している物体は、力が働かないかぎりまっすぐに進む。したがって等速であっても円運動している物体には力が加わっていることになる。速度をv、軌道半径をrとすると、等速円運動の加速度はv²/rとなるので、力の大きさは

　　　　　(2.2)

となる。ただし、mは質量である。力の向きは速度に対して垂直、すなわち中心方向である。そこで、この力を向心力とよぶ。

【例題2-3】
ハンマー投げのとき、ワイヤーの張力はどのくらいになるか。ただし、ハンマーの質量を7.26 kg、速度を28 m/s、回転半径を1.7 mとする。
　・この速度でおよそ80 m 投げることができる。
　・ワイヤーの長さは1.2 m だが、腕の分があるので半径はこれより大きくなる。

　解答

○ケプラーの法則と万有引力
　運動方程式を用いれば、力が加わったとき物体がどのような運動をするかが分かるし、逆に物体の動いている様子からその物体にどのような力が働いているかを求めることができる。ニュートンは天体の運動から天体の間で働く力、すなわち万有引力（universal gravitation）を発見した。
　ケプラー（J. Kepler）は、ティコ・ブラーエ（Tycho Brahe）の精密な天体観測に基づき、惑星の運動に関するつぎの３つの法則を見い出した。

　第１法則：惑星は太陽を焦点の１つとする楕円軌道を描く。
　第２法則：太陽と惑星を結ぶ線が単位時間に掃く面積は一定である。
　第３法則：各惑星の公転周期の２乗と太陽からの距離の３乗の比は、すべての惑星について等しい。

ここでは、簡単のために惑星の軌道を楕円ではなく円として、ケプラーの法則から万有引力を導いてみよう。円軌道とすると、ケプラーの第２法則より惑星の速度Vは一定となる。また太陽と惑星の距離をr、惑星の質量をmとすると、惑星に働く力Fは、

　　　　　　　　　 (2.3)

となる。速度Vを公転周期Tを使って表すと、

　　　　　　　　　 (2.4)

となり、またケプラーの第３法則は、

　　（Aは定数）　　(2.5)

と表される。（2.3）～（2.5）式より、

が得られる。惑星と太陽の間に働く力が惑星の質量mに比例するなら、太陽の質量Mにも比例するはずであるから、

となることがわかる。ただしGは万有引力定数で、

　　G=6.673×10^-11　N･m²･kg^-2

の値をもっている。

【例題2-4】
地上の物体に働く重力は、その物体と地球との間で働く万有引力に等しい^*として、地球の質量を求めよ。ただし、重力加速度を9.80 m/s²、地球の半径を6.38×10⁶m、万有引力定数を6.673×10^-11　N･m²･kg^-2とする。

*地球の自転にともなう遠心力などが働くため、厳密には等しくない。　　　　　　　　　　　　　　　　　

解答

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ビデオ「ニュートンの法則」-メカニカル・ユニバース 1-　（18分）
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◆作用・反作用の法則
　　力は常に２つの物体間で働く。つまり互いに引き合うか、反発し合うかである。このとき片方の物体がもう片方の物体に及ぼす力を作用といい、逆を反作用という。下図のようにAとBの間で力が働いているとき、AがBに及ぼす力F_ABを作用とすると、BがAに及ぼす力F_BAが反作用である。２つの力は対等であるからどちらを作用としてもかまわない。F_BAを作用にすれば、F_ABが反作用となる。作用と反作用の間には次の関係があることが知られている。

　「作用と反作用は同一直線上で働き、互いに逆向きで大きさは等しい」

これを「ニュートンの第３法則」または「作用・反作用の法則」という。

注：「作用」と「反作用」は同時に働くもので、「原因」と「結果」ではない。
　　「作用」と「反作用」は別の物体に働くので、打ち消し合うことはない。

【例題2-5】

机の上に置いてある本にはどのような力が働いているか。また、その反作用はそれぞれどのようなものか。

解答

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◆まとめ

○慣性の法則
　　力を受けない物体は静止または等速直線運動を続ける。

○運動方程式
　　F=ma

○作用・反作用の法則
　　「作用と反作用は同一直線上で働き、互いに逆向きで大きさは等しい」

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